Calcolo Esempi

$f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 6 {(2 x + 1)}^{5} (2) d x$

Passaggio 3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\int 12 {(2 x + 1)}^{5} d x$

Passaggio 4

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$12 \int {(2 x + 1)}^{5} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 2 x + 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$12 \int u^{5} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6

$u^{5}$ e $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{u^{5}}{2} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$12 (\frac{1}{2} \int u^{5} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{2}$ e $12$ .

$\frac{12}{2} \int u^{5} d u$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u^{5} d u$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u^{5} d u$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u^{5} d u$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{1} \int u^{5} d u$

Passaggio 8.2.2.4

Dividi $6$ per $1$ .

$6 \int u^{5} d u$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi $6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ come $6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$ .

$6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

$6$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Passaggio 10.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Passaggio 10.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 u^{6} + C$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $u^{6}$ per $1$ .

$u^{6} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

${(2 x + 1)}^{6} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$ .

$F (x) =$ ${(2 x + 1)}^{6} + C$