Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (7 x)}{\sin (5 x)}$

Passaggio 1

Applica le identità trigonometriche.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\tan (7 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}{\sin (5 x)}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}{\sin (5 x)}$ come un prodotto.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Converti da $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ a $\tan (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (7 x) \frac{1}{\sin (5 x)}$

Passaggio 1.3.2

Converti da $\frac{1}{\sin (5 x)}$ a $\csc (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Passaggio 2

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Passaggio 3

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\tan (7 x) \csc (5 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & \tan (7 x) \csc (5 x) \\ - 0.1 & 1.75687007 \\ - 0.01 & 1.40287561 \\ - 0.001 & 1.4000287 \\ - 0.0001 & 1.40000028 \end{array}$

Passaggio 4

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $1.4$ . Di conseguenza, il limite di $\tan (7 x) \csc (5 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $1.4$ .

$1.4$

Passaggio 5

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Passaggio 6

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\tan (7 x) \csc (5 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & \tan (7 x) \csc (5 x) \\ 0.1 & 1.75687007 \\ 0.01 & 1.40287561 \\ 0.001 & 1.4000287 \\ 0.0001 & 1.40000028 \end{array}$

Passaggio 7

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $1.4$ . Di conseguenza, il limite di $\tan (7 x) \csc (5 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $1.4$ .

$1.4$