Calcolo Esempi

$lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$lim_{n \to 8} {(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})}^{n}$

Passaggio 1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{n \to 8} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(\frac{n + 1}{n})}^{n}$ come $e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})$ spostando $n$ fuori dal logaritmo.

$lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n + 1}{n})}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n + 1}{n})}$

Passaggio 3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $n$ tende a $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n + 1}{n})}$

Passaggio 3.3

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n + 1}{n})}$

Passaggio 3.4

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $n$ tende a $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Passaggio 3.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $n$ tende a $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Passaggio 3.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $n$ tende a $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $n$ .

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $n$ inserendo $8$ per $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $n$ inserendo $8$ per $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $n$ inserendo $8$ per $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Semplifica $8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$e^{\ln ({(\frac{8 + 1}{8})}^{8})}$

Passaggio 5.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(\frac{8 + 1}{8})}^{8}$

Passaggio 5.3

Somma $8$ e $1$ .

${(\frac{9}{8})}^{8}$

Passaggio 5.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{8}$ .

$\frac{9^{8}}{8^{8}}$

Passaggio 5.5

Eleva $9$ alla potenza di $8$ .

$\frac{43046721}{8^{8}}$

Passaggio 5.6

Eleva $8$ alla potenza di $8$ .

$\frac{43046721}{16777216}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{43046721}{16777216}$

Forma decimale:

$2.56578451 \dots$