Calcolo Esempi

$x = - 1$ , $x = 2$ , $y = 3 e^{3 x}$ , $y = 2 e^{3 x} + 1$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$

Passaggio 1.2

Risolvi $3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $2 e^{3 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} = 1$

Passaggio 1.2.1.2

Sottrai $2 e^{3 x}$ da $3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} = 1$

Passaggio 1.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (1)$

Passaggio 1.2.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Espandi $\ln (e^{3 x})$ spostando $3 x$ fuori dal logaritmo.

$3 x \ln (e) = \ln (1)$

Passaggio 1.2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$3 x \cdot 1 = \ln (1)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 x = \ln (1)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$3 x = 0$

Passaggio 1.2.5

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x = 0$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = 2 e^{3 (0)} + 1$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $2 e^{3 (0)} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$y = 2 e^{0} + 1$

Passaggio 1.3.2.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$y = 2 \cdot 1 + 1$

Passaggio 1.3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = 2 + 1$

Passaggio 1.3.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$y = 3$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 3)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 d x - \int_{- 1}^{0} 3 e^{3 x} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - (3 e^{3 x}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - 3 e^{3 x} d x$

Passaggio 3.3

Sottrai $3 e^{3 x}$ da $2 e^{3 x}$ .

$\int_{- 1}^{0} 1 - e^{3 x} d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{0} d x + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Passaggio 3.5

Applica la regola costante.

$x]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} e^{3 x} d x$

Passaggio 3.7

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.7.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 3.7.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot - 1$

Passaggio 3.7.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$u_{lower} = - 3$

Passaggio 3.7.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 0$

Passaggio 3.7.5

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 3.7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 3.7.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3.8

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 3.9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$x]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u)$

Passaggio 3.10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Passaggio 3.11

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Calcola $x$ per $0$ e per $- 1$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Passaggio 3.11.2

Calcola $e^{u}$ per $0$ e per $- 3$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Passaggio 3.11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.1

Somma $0$ e $1$ .

$1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Passaggio 3.11.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - e^{- 3})$

Passaggio 3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{e^{3}})$

Passaggio 3.12.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 - \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Passaggio 3.12.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Passaggio 3.12.1.4

Moltiplica $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{e^{3}}$

Passaggio 3.12.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Passaggio 3.12.1.4.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{e^{3}}$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Passaggio 3.12.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Passaggio 3.12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 - 1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Passaggio 3.12.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Passaggio 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} + 1 d x$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - (2 e^{3 x} + 1) d x$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 e^{3 x} - (2 e^{3 x}) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1$

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 d x$

Passaggio 5.3

Sottrai $2 e^{3 x}$ da $3 e^{3 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - 1 d x$

Passaggio 5.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Passaggio 5.5

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 5.5.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 5.5.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 5.5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 5.5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Passaggio 5.5.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$u_{upper} = 6$

Passaggio 5.5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Passaggio 5.5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Passaggio 5.6

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Passaggio 5.7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Passaggio 5.8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Passaggio 5.9

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + - x]_{0}^{2}$

Passaggio 5.10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

Calcola $e^{u}$ per $6$ e per $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + - x]_{0}^{2}$

Passaggio 5.10.2

Calcola $- x$ per $2$ e per $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Passaggio 5.10.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.3.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Passaggio 5.10.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Passaggio 5.10.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2 + 0$

Passaggio 5.10.3.4

Somma $- 2$ e $0$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2$

Passaggio 5.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Passaggio 5.11.1.2

$\frac{1}{3}$ e $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Passaggio 5.11.1.3

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3} - 2$

Passaggio 5.11.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2$

Passaggio 5.11.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 5.11.3

$- 2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 5.11.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 5.11.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.5.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 6}{3}$

Passaggio 5.11.5.2

Sottrai $6$ da $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 7}{3}$

Passaggio 5.11.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$

Passaggio 6

Somma le aree $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 + e^{6} - 7}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Passaggio 6.2

Sottrai $7$ da $2$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Passaggio 6.3

Per scrivere $\frac{e^{6} - 5}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} \cdot \frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Passaggio 6.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica $\frac{e^{6} - 5}{3}$ per $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3}}{3 e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Passaggio 6.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Passaggio 6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{6} e^{3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $e^{6}$ per $e^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{6 + 3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Passaggio 6.5.2.2

Somma $6$ e $3$ .

$\frac{e^{9} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Passaggio 7