Calcolo Esempi

$\log_{b} (216) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi $\log_{b} (216) = 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$b^{3} = 216$

Passaggio 2

Risolvi per $b$ .

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Passaggio 2.1

Sottrai $216$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b^{3} - 216 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $216$ come $6^{3}$ .

$b^{3} - 6^{3} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = b$ e $b = 6$ .

$(b - 6) (b^{2} + b \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.2.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $b$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 6^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$b - 6 = 0$

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $b - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $b$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $b - 6$ uguale a $0$ .

$b - 6 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$b = 6$

Passaggio 2.5

Imposta $b^{2} + 6 b + 36$ uguale a $0$ e risolvi per $b$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $b^{2} + 6 b + 36$ uguale a $0$ .

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $b^{2} + 6 b + 36 = 0$ per $b$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 6$ e $c = 36$ nella formula quadratica e risolvi per $b$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.2.3.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.3

Sottrai $144$ da $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 108$ come $- 1 (108)$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (108)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.7

Riscrivi $108$ come $6^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 2.5.2.3.1.7.1

Scomponi $36$ da $108$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.7.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.9

Sposta $6$ alla sinistra di $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.2.3.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$b = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$ vera.

$b = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$