Calcolo Esempi

$\ln (1 - x) + \ln (2 - x) = \ln (x + 14)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((1 - x) (2 - x)) = \ln (x + 14)$

Passaggio 1.2

Espandi $(1 - x) (2 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (1 (2 - x) - x (2 - x)) = \ln (x + 14)$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (1 \cdot 2 + 1 (- x) - x (2 - x)) = \ln (x + 14)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (1 \cdot 2 + 1 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\ln (2 + 1 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\ln (2 - x - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (2 - x - 2 x - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Passaggio 1.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (x + 14)$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (x + 14)$

Passaggio 1.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (x + 14)$

Passaggio 1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (2 - x - 2 x + 1 x^{2}) = \ln (x + 14)$

Passaggio 1.3.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\ln (2 - x - 2 x + x^{2}) = \ln (x + 14)$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $2 x$ da $- x$ .

$\ln (2 - 3 x + x^{2}) = \ln (x + 14)$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$2 - 3 x + x^{2} = x + 14$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 - 3 x + x^{2} - x = 14$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $x$ da $- 3 x$ .

$2 + x^{2} - 4 x = 14$

Passaggio 3.2

Sottrai $14$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 + x^{2} - 4 x - 14 = 0$

Passaggio 3.3

Sottrai $14$ da $2$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $x^{2} - 4 x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 6, 2$

Passaggio 3.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 3.7

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 6, - 2$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (1 - x) + \ln (2 - x) = \ln (x + 14)$ vera.

$x = - 2$