Calcolo Esempi

$\frac{2 x}{x^{2} - 6 x + 9} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 6 x + 3^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{2 x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.2

Scomponi $x^{2} - 2 x - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

Passaggio 2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - (\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}) - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$ per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - (\frac{8}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3})$

Passaggio 2.6

Moltiplica $\frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$ per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x - 3) (x + 1) (x - 3)}$

Passaggio 2.7

Riordina i fattori di $(x - 3) (x + 1) (x - 3)$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) (x - 3) (x - 3)}$

Passaggio 2.8

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) ({(x - 3)}^{1} (x - 3))}$

Passaggio 2.9

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1})}$

Passaggio 2.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) {(x - 3)}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.11

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x (x + 1) - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.4

Riscrivi ${(x - 3)}^{2}$ come $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - ((x - 3) (x - 3)) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.5

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.6.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.6.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 6 x + 9) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.8

Semplifica.

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Passaggio 4.8.1

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9 - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 9 - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.9

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 9 - 8 x - 8 \cdot - 3}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.10

Moltiplica $- 8$ per $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 9 - 8 x + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 5

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 5.1

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6 x - 9 - 8 x + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 5.2

Somma $2 x$ e $6 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x - 9 - 8 x + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 5.3

Combina i termini opposti in $x^{2} + 8 x - 9 - 8 x + 24$ .

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Passaggio 5.3.1

Sottrai $8 x$ da $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 9 + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 5.3.2

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 9 + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 5.4

Somma $- 9$ e $24$ .

$\frac{x^{2} + 15}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$