Calcolo Esempi

$\frac{x^{3} - 1}{x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3} - 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.4

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x (3 x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{1 + 2} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} - 1)}{x^{2}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - - 1}{x^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} + 1}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $x^{3}$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + 1}{x^{2}}$