Calcolo Esempi

$\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1}$ come ${(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 3 x - 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 1]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3 x - 1$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 1]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3 + 0)$

Passaggio 3.7

Somma $2 x + 3$ e $0$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}} (2 x + 3)$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori di $- \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}} (2 x + 3)$ .

$- (2 x + 3) \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(- (2 x) - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$(- 2 x - 3) \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $- 2 x - 3$ per $\frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 3}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 3}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (3)}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Riscrivi $- (2 x + 3)$ come $- 1 (2 x + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x + 3}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$