Calcolo Esempi

$\frac{1}{2} \cdot (x^{2} \sqrt{16 - x^{2}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}]$

Passaggio 1.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.2.1

$\frac{x^{2}}{2}$ e $\sqrt{16 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

Passaggio 1.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{16 - x^{2}}$ come ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}]$

Passaggio 1.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $16 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $16 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 10

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 14

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 14.2

$- 2$ e $\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 14.3

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 16

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 17

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{3}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 18

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 19

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 19.1

Scomponi $2$ da $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 19.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 19.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 21

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Passaggio 22

Riordina.

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Passaggio 22.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)$

Passaggio 22.2

Sposta ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 23

Per scrivere $2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25

Moltiplica ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 25.1

Sposta ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{1}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 26

Semplifica $2 x {(- x^{2} + 16)}^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28

Semplifica.

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Passaggio 28.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 28.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 28.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 28.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 28.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.2.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.2.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.2.1.4

Moltiplica $16$ per $2$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.2.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $- x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.3

Scomponi $x$ da $- 3 x^{3} + 32 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.3.1

Scomponi $x$ da $- 3 x^{3}$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.3.2

Scomponi $x$ da $32 x$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 32}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.3.3

Scomponi $x$ da $x (- 3 x^{2}) + x \cdot 32$ .

$\frac{x (- 3 x^{2} + 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) + 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.5

Riscrivi $32$ come $- 1 (- 32)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2} - 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.7

Riscrivi $- (3 x^{2} - 32)$ come $- 1 (3 x^{2} - 32)$ .

$\frac{x (- 1 (3 x^{2} - 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x (3 x^{2} - 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$