Calcolo Esempi

$e^{- \frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{1}{x}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{- \frac{1}{x}} (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.3

Moltiplica.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- \frac{1}{x}} (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + 0)$

Passaggio 3.5.2

Somma $x^{- 2}$ e $0$ .

$e^{- \frac{1}{x}} x^{- 2}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

$e^{- \frac{1}{x}}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$