Calcolo Esempi

$\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$

Passaggio 1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 3$ e $g (x) = x^{3}$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$9 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x$ .

$9 \frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$9 \frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 \frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4.3

Somma $1$ e $3$ .

$9 \frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$9 \frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$9 \frac{2 x^{4} - (x^{2} - 3) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 7

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$9 \frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 7.2

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ .

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{4}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 7.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Passaggio 7.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Passaggio 8

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 8.3

Riscrivi l'espressione.

$9 \frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 9

$9$ e $\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{4}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 (2 x^{2}) + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 10.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.3.1.1

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{18 x^{2} + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.2

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.3

Moltiplica $9 (- 3 \cdot - 3)$ .

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Passaggio 10.3.1.3.1

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.3.2

Moltiplica $9$ per $9$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 81}{x^{4}}$

Passaggio 10.3.2

Sottrai $27 x^{2}$ da $18 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{2} + 81}{x^{4}}$

Passaggio 10.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.4.1

Scomponi $9$ da $- 9 x^{2} + 81$ .

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Passaggio 10.4.1.1

Scomponi $9$ da $- 9 x^{2}$ .

$\frac{9 (- x^{2}) + 81}{x^{4}}$

Passaggio 10.4.1.2

Scomponi $9$ da $81$ .

$\frac{9 (- x^{2}) + 9 (9)}{x^{4}}$

Passaggio 10.4.1.3

Scomponi $9$ da $9 (- x^{2}) + 9 (9)$ .

$\frac{9 (- x^{2} + 9)}{x^{4}}$

Passaggio 10.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{9 (- x^{2} + 3^{2})}{x^{4}}$

Passaggio 10.4.3

Riordina $- x^{2}$ e $3^{2}$ .

$\frac{9 (3^{2} - x^{2})}{x^{4}}$

Passaggio 10.4.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3$ e $b = x$ .

$\frac{9 (3 + x) (3 - x)}{x^{4}}$