Calcolo Esempi

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$ come un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \frac{1}{\cos (x)}]$

Passaggio 2

Scrivi $\sin (2 x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}]$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \frac{1}{\cos (x)}]$

Passaggio 3.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \sec (x)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (2 x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 5

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sin (2 x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 6.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 7

Differenzia.

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Passaggio 7.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 7.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 7.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (x) \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + 2 \cdot (\sec (x) \cos (2 x))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riordina i termini.

$\sec (x) \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Passaggio 8.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.2.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Passaggio 8.2.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Passaggio 8.2.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Passaggio 8.2.4

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 8.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Passaggio 8.2.4.2

Dividi $2 \sin (x)$ per $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Passaggio 8.2.5

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 8.2.6.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $2$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \sin (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Passaggio 8.2.6.2

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Passaggio 8.2.6.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Passaggio 8.2.6.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Passaggio 8.2.6.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Passaggio 8.2.6.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Passaggio 8.2.7

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 8.2.8

Moltiplica $2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 8.2.8.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ e $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\cos (x)} \cos (2 x)$

Passaggio 8.2.8.2

$\frac{2}{\cos (x)}$ e $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8.3.2

Frazioni separate.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8.3.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8.3.4

Dividi $2 (\sin (x))$ per $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8.3.5

Frazioni separate.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8.3.6

Riscrivi $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ come un prodotto.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 8.3.7

Scrivi $\cos (2 x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 8.3.8

Semplifica.

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Passaggio 8.3.8.1

Dividi $\cos (2 x)$ per $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 8.3.8.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \sec (x))$

Passaggio 8.3.9

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$