Calcolo Esempi

$\frac{\ln (5 x)}{5 x}$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{\ln (5 x)}{5 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (5 x)}{x}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (5 x)}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (5 x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{5 x}$ e $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{x}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{x}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [5 x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{1}{5} (5 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.4.1

$5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{5}{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{5}{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica $\frac{d}{d x} [x]$ per $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \ln (5 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \ln (5 x)}{x^{2}}$

Passaggio 4.7.2

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{1 - \ln (5 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (5 x)}{5 x^{2}}$