Calcolo Esempi

$\sqrt[5]{8 x^{3} + 9 x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{8 x^{3} + 9 x}$ come ${(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = 8 x^{3} + 9 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x^{3} + 9 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 9 x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 9 x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x^{3} + 9 x$ .

$\frac{1}{5} {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 9 x]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 9 x]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 9 x]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{5} {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 9 x]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{1}{5} {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 9 x]$

Passaggio 6.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$\frac{1}{5} {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 9 x]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{5} {(8 x^{3} + 9 x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 9 x]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{5}$ e ${(8 x^{3} + 9 x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(8 x^{3} + 9 x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 9 x]$

Passaggio 7.3

Sposta ${(8 x^{3} + 9 x)}^{- \frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 9 x]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{3} + 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{1}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x])$

Passaggio 9

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}} (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x])$

Passaggio 11

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{1}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}} (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x])$

Passaggio 12

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}} (24 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}} (24 x^{2} + 9 \cdot 1)$

Passaggio 14

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{1}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}} (24 x^{2} + 9)$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}} (24 x^{2} + 9)$ .

$(24 x^{2} + 9) \frac{1}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $24 x^{2} + 9$ per $\frac{1}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{24 x^{2} + 9}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 15.3

Scomponi $3$ da $24 x^{2} + 9$ .

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Passaggio 15.3.1

Scomponi $3$ da $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2}) + 9}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 15.3.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{3 (8 x^{2}) + 3 (3)}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 15.3.3

Scomponi $3$ da $3 (8 x^{2}) + 3 (3)$ .

$\frac{3 (8 x^{2} + 3)}{5 {(8 x^{3} + 9 x)}^{\frac{4}{5}}}$