Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{e^{(7 x^{2} - 3)}}{\ln (3 x + 5)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{7 x^{2} - 3}$ e $g (x) = \ln (3 x + 5)$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} - 3}] - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x^{2} - 3$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $7 x^{2} - 3$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3]) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3]) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $7 x^{2} - 3$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3]) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 3.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 3.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x + 0)) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 3.6

Somma $14 x$ e $0$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x + 5$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x + 5$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x + 5$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} (\frac{1}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{3 x + 5}$ e $e^{7 x^{2} - 3}$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 5.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 5.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 5.6

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 + 0)}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 5.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} \cdot 3}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - 3 \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 5.7.3

$- 3$ e $\frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) + \frac{- 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 5.7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 6

Per scrivere $\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$\frac{\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5)}{3 x + 5} - \frac{3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 8

Riscrivi $\frac{\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$ come un prodotto.

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 9

Moltiplica $\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}$ per $\frac{1}{\ln^{2} (3 x + 5)}$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{14 \ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} x) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.1.1.2

Semplifica $14 \ln (3 x + 5)$ spostando $14$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) (3 x) + \ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) \cdot 5 - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.1.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x \cdot x + \ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) \cdot 5 - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.1.1.5

Moltiplica $\ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) \cdot 5$ .

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Passaggio 10.1.1.5.1

Riordina $\ln ({(3 x + 5)}^{14})$ e $5$ .

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x \cdot x + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot (5 \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{14})) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.1.1.5.2

Semplifica $5 \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{14})$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x \cdot x + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.1.1.6.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.1.1.6.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} (x \cdot x) + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.1.1.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.1.1.6.2

Semplifica $3 \ln ({(3 x + 5)}^{14})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{3}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.1.1.6.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x + 5)}^{14})}^{3}$ .

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Passaggio 10.1.1.6.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{14 \cdot 3}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.1.1.6.3.2

Moltiplica $14$ per $3$ .

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.1.1.6.4

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x + 5)}^{14})}^{5}$ .

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Passaggio 10.1.1.6.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{14 \cdot 5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.1.1.6.4.2

Moltiplica $14$ per $5$ .

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.1.2

Riordina i fattori in $\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}$ .

$\frac{x^{2} e^{7 x^{2} - 3} \ln ({(3 x + 5)}^{42}) + x e^{7 x^{2} - 3} \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Passaggio 10.2

Riordina i termini.

$\frac{e^{7 x^{2} - 3} x^{2} \ln ({(3 x + 5)}^{42}) + e^{7 x^{2} - 3} x \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{\ln^{2} (3 x + 5) (3 x + 5)}$