Calcolo Esempi

$y = {(4 x - 2)}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(4 x - 2)}^{2})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Riscrivi ${(4 x - 2)}^{2}$ come $(4 x - 2) (4 x - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(4 x - 2) (4 x - 2)]$

Passaggio 3.2

Espandi $(4 x - 2) (4 x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x - 2) - 2 (4 x - 2)]$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x - 2)]$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Passaggio 3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 8 x - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2]$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 8 x - 8 x + 4]$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $8 x$ da $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 16 x + 4]$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{2} - 16 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.5

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $16$ .

$32 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.8

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$32 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.10

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$32 x - 16 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.11

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$32 x - 16 + 0$

Passaggio 3.12

Somma $32 x - 16$ e $0$ .

$32 x - 16$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 32 x - 16$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 32 x - 16$