Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 5}{7 x^{2} - 2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x^{2} - 5$ e $g (x) = 7 x^{2} - 2$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5] - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (6 x + 0) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $6 x$ e $0$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (6 x) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $6$ alla sinistra di $7 x^{2} - 2$ .

$\frac{6 \cdot (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (14 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (14 x + 0)}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.12.1

Somma $14 x$ e $0$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (14 x)}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $14$ per $- 1$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - 14 (3 x^{2} - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(6 (7 x^{2}) + 6 \cdot - 2) x - 14 (3 x^{2} - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (7 x^{2}) x + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2} - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (7 x^{2}) x + 6 \cdot - 2 x + (- 14 (3 x^{2}) - 14 \cdot - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (7 x^{2}) x + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{6 (7 (x \cdot x^{2})) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 (7 (x^{1} x^{2})) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 (7 x^{1 + 2}) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{6 (7 x^{3}) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $7$ per $6$ .

$\frac{42 x^{3} + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 (x \cdot x^{2})) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.5.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 (x^{1} x^{2})) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 x^{1 + 2}) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 x^{3}) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.5

Moltiplica $3$ per $- 14$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 42 x^{3} - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.6

Moltiplica $- 14$ per $- 5$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 42 x^{3} + 70 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Combina i termini opposti in $42 x^{3} - 12 x - 42 x^{3} + 70 x$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $42 x^{3}$ da $42 x^{3}$ .

$\frac{- 12 x + 0 + 70 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $- 12 x$ e $0$ .

$\frac{- 12 x + 70 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Somma $- 12 x$ e $70 x$ .

$\frac{58 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$