Calcolo Esempi

$\frac{1 + c e^{x}}{1 - c e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ è $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ dove $f (c) = 1 + c e^{x}$ e $g (c) = 1 - c e^{x}$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 + c e^{x}] - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + c e^{x}$ rispetto a $c$ è $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $1$ rispetto a $c$ è $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d c} [c e^{x}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $e^{x}$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $c e^{x}$ rispetto a $c$ è $e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \frac{d}{d c} [c]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ è $n c^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \cdot 1) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x}) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - c e^{x}$ rispetto a $c$ è $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $1$ rispetto a $c$ è $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $- e^{x}$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $- c e^{x}$ rispetto a $c$ è $- e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \frac{d}{d c} [c])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ è $n c^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \cdot 1)}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6

Sottrai $e^{x}$ da $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 1 - (c e^{x})) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.4.1.1

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.4.1.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - c (e^{x} e^{x}) - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{x} - c e^{x + x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4

Moltiplica $- 1 (- e^{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + 1 e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.5

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.5.1

Sposta $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c (e^{x} e^{x})) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x + x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.5.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{2 x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.6

Moltiplica $- c e^{2 x} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + 1 c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.6.2

Moltiplica $c$ per $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.2

Combina i termini opposti in $e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}$ .

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Passaggio 7.4.2.1

Somma $- c e^{2 x}$ e $c e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} + 0 + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.2.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{e^{x} + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4.3

Somma $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.5

Riordina i termini.

$\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.6

Riordina i fattori in $\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{{(- c e^{x} + 1)}^{2}}$