Calcolo Esempi

$x = t {(2 t + 1)}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (t {(2 t + 1)}^{2})$

Passaggio 2

La derivata di $x$ rispetto a $t$ è $x'$ .

$x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Riscrivi ${(2 t + 1)}^{2}$ come $(2 t + 1) (2 t + 1)$ .

$\frac{d}{d t} [t ((2 t + 1) (2 t + 1))]$

Passaggio 3.2

Espandi $(2 t + 1) (2 t + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t + 1) + 1 (2 t + 1))]$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t + 1))]$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Passaggio 3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Sposta $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $2 t$ per $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1 \cdot 1)]$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1)]$

Passaggio 3.3.2

Somma $2 t$ e $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 4 t + 1)]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = 4 t^{2} + 4 t + 1$ .

$t \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 4 t + 1] + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.5

Differenzia.

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Passaggio 3.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 t^{2} + 4 t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$t (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.5.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t^{2}$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$t (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$t (8 t + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.5.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (8 t + 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.5.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$t (8 t + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.5.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$t (8 t + 4 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.5.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$t (8 t + 4 + 0) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.5.9

Somma $8 t + 4$ e $0$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.5.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \cdot 1$

Passaggio 3.5.11

Moltiplica $4 t^{2} + 4 t + 1$ per $1$ .

$t (8 t + 4) + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$t (8 t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Passaggio 3.6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.6.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$8 (t^{1} t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Passaggio 3.6.2.2

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$8 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Passaggio 3.6.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 t^{1 + 1} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Passaggio 3.6.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$8 t^{2} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Passaggio 3.6.2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $t$ .

$8 t^{2} + 4 \cdot t + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Passaggio 3.6.2.6

Somma $8 t^{2}$ e $4 t^{2}$ .

$12 t^{2} + 4 t + 4 t + 1$

Passaggio 3.6.2.7

Somma $4 t$ e $4 t$ .

$12 t^{2} + 8 t + 1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x' = 12 t^{2} + 8 t + 1$

Passaggio 5

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = 12 t^{2} + 8 t + 1$