Calcolo Esempi

$y^{\frac{3}{2}} (y + c e^{y})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y^{\frac{3}{2}}$ e $g (y) = y + c e^{y}$ .

$y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d y} [y + c e^{y}] + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + c e^{y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [c e^{y}]$ .

$y^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [c e^{y}]) + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d y} [c e^{y}]) + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.3

Poiché $c$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $c e^{y}$ rispetto a $y$ è $c \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c \frac{d}{d y} [e^{y}]) + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ è $a^{y} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9

$\frac{3}{2}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + (y + c e^{y}) \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + y \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 10.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 10.3.1

Moltiplica $y^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + y \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 10.3.2

$y$ e $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{y (3 y^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 10.3.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 (y^{1} y^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 10.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 10.3.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 10.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 10.3.7

Somma $2$ e $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 10.3.8

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $c$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c}{2} e^{y}$

Passaggio 10.3.9

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} c}{2}$ e $e^{y}$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Passaggio 10.3.10

Per scrivere $y^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + y^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Passaggio 10.3.11

$y^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{y^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Passaggio 10.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Passaggio 10.3.13

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{\frac{3}{2}}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{2 \cdot y^{\frac{3}{2}} + 3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Passaggio 10.3.14

Somma $2 y^{\frac{3}{2}}$ e $3 y^{\frac{3}{2}}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Passaggio 10.4

Riordina i termini.

$e^{y} y^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2} + \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2}$