Calcolo Esempi

${(x^{4} + 9)}^{8} (4 x^{3} d x)$

Passaggio 1

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Passaggio 1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d (x^{3} x^{1})) d x$

Passaggio 1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{3 + 1}) d x$

Passaggio 1.3

Somma $3$ e $1$ .

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{4}) d x$

Passaggio 1.4

Sposta $4$ alla sinistra di ${(x^{4} + 9)}^{8}$ .

$\int 4 {(x^{4} + 9)}^{8} d x^{4} d x$

Passaggio 2

Poiché $4 d$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4 d$ fuori dall'integrale.

$4 d \int {(x^{4} + 9)}^{8} x^{4} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = x^{4} + 9$ . Allora $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = x^{4} + 9$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x^{4} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 9]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3}$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} \frac{1}{4} d u_{1}$

Passaggio 4

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{4}$ e ${u_{1}}^{8}$ .

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8}}{4} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Passaggio 4.2

$\frac{{u_{1}}^{8}}{4}$ e $\sqrt[4]{u_{1} - 9}$ .

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9}}{4} d u_{1}$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$4 d (\frac{1}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$d (\frac{4}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

Passaggio 6.2

$\frac{4}{4}$ e $d$ .

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Passaggio 6.3.2

Dividi $d$ per $1$ .

$d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Passaggio 7

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = {u_{1}}^{8}$ e $d v = \sqrt[4]{u_{1} - 9}$ .

$d ({u_{1}}^{8} (\frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Passaggio 8

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Passaggio 8.1

$\frac{4}{5}$ e ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ .

$d ({u_{1}}^{8} \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Passaggio 8.2

${u_{1}}^{8}$ e $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$d (\frac{{u_{1}}^{8} (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Passaggio 8.3

Sposta $4$ alla sinistra di ${u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 \cdot {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Passaggio 8.4

$\frac{4}{5}$ e ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Passaggio 8.5

$8$ e $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{8 (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

Passaggio 8.6

Moltiplica $4$ per $8$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

Passaggio 8.7

$\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ e ${u_{1}}^{7}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{7}}{5} d u_{1})$

Passaggio 9

Poiché $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ fuori dall'integrale.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - (\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} \int {u_{1}}^{7} d u_{1}))$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{1}}^{7}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{8} {u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{1}{8} {u_{1}}^{8} + C))$

Passaggio 11

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Passaggio 11.1

$\frac{1}{8}$ e ${u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$

Passaggio 11.2

Riscrivi $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$ come $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

Passaggio 11.3

Semplifica.

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Passaggio 11.3.1

Riordina i termini.

$d (\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

Passaggio 11.3.2

Sottrai $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ da $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ .

$d \cdot 0 + C$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $d$ per $0$ .

$0 + C$

Passaggio 11.3.4

Somma $0$ e $C$ .

$C$