Calcolo Esempi

$y = 9 x e^{- k x}$

Passaggio 1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x e^{- k x}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x e^{- k x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x e^{- k x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- k x}$ .

$9 (x \frac{d}{d x} [e^{- k x}] + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - k x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- k x$ .

$9 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$9 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- k x$ .

$9 (x (e^{- k x} \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $- k$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- k x$ rispetto a $x$ è $- k \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k \frac{d}{d x} [x])) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k \cdot 1)) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x} \cdot 1)$

Passaggio 4.5

Moltiplica $e^{- k x}$ per $1$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 (x (e^{- k x} (- k))) + 9 e^{- k x}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 x (e^{- k x} (k)) + 9 e^{- k x}$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$- 9 e^{- k x} k x + 9 e^{- k x}$

Passaggio 5.4

Riordina i fattori in $- 9 e^{- k x} k x + 9 e^{- k x}$ .

$- 9 k x e^{- k x} + 9 e^{- k x}$