Calcolo Esempi

$y = 6 x (3 x^{2} - 5 x)$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x (3 x^{2} - 5 x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x (3 x^{2} - 5 x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x (3 x^{2} - 5 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 3 x^{2} - 5 x$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x] + (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$6 (x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 (x (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (x (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (x (6 x - 5 \cdot 1) + (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.7

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$6 (x (6 x - 5) + (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (x (6 x - 5) + (3 x^{2} - 5 x) \cdot 1)$

Passaggio 3.9

Moltiplica $3 x^{2} - 5 x$ per $1$ .

$6 (x (6 x - 5) + 3 x^{2} - 5 x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x (6 x) + x \cdot - 5 + 3 x^{2} - 5 x)$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x (6 x)) + 6 (x \cdot - 5) + 6 (3 x^{2}) + 6 (- 5 x)$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 (6 (x^{1} x)) + 6 (x \cdot - 5) + 6 (3 x^{2}) + 6 (- 5 x)$

Passaggio 4.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 (6 (x^{1} x^{1})) + 6 (x \cdot - 5) + 6 (3 x^{2}) + 6 (- 5 x)$

Passaggio 4.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 (6 x^{1 + 1}) + 6 (x \cdot - 5) + 6 (3 x^{2}) + 6 (- 5 x)$

Passaggio 4.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$6 (6 x^{2}) + 6 (x \cdot - 5) + 6 (3 x^{2}) + 6 (- 5 x)$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $6$ per $6$ .

$36 x^{2} + 6 (x \cdot - 5) + 6 (3 x^{2}) + 6 (- 5 x)$

Passaggio 4.3.6

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$36 x^{2} + 6 (- 5 \cdot x) + 6 (3 x^{2}) + 6 (- 5 x)$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $- 5$ per $6$ .

$36 x^{2} - 30 x + 6 (3 x^{2}) + 6 (- 5 x)$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $3$ per $6$ .

$36 x^{2} - 30 x + 18 x^{2} + 6 (- 5 x)$

Passaggio 4.3.9

Somma $36 x^{2}$ e $18 x^{2}$ .

$54 x^{2} - 30 x + 6 (- 5 x)$

Passaggio 4.3.10

Moltiplica $- 5$ per $6$ .

$54 x^{2} - 30 x - 30 x$

Passaggio 4.3.11

Sottrai $30 x$ da $- 30 x$ .

$54 x^{2} - 60 x$