Calcolo Esempi

$y = \ln (x \ln (x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x \ln (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 4.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x \ln (x)} \cdot 1 + \frac{1}{x \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x \ln (x)}$ per $1$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} + \frac{1}{x \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 5.2.2

$\frac{1}{x \ln (x)}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} + \frac{\ln (x)}{x \ln (x)}$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $\ln (x)$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x \ln (x)} + \frac{\ln (x)}{x \ln (x)}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x \ln (x)} + \frac{1}{x}$