Calcolo Esempi

$y = \frac{\ln (x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Passaggio 4

$e^{2 x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1

Combina.

$\frac{x (\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Passaggio 8

Differenzia.

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Passaggio 8.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

Passaggio 8.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} \cdot 1))}{x e^{4 x}}$

Passaggio 8.4

Moltiplica $e^{2 x}$ per $1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{2 x} - 2 x (\ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica $- 2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Passaggio 9.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{2 x} - x (\ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

$\frac{e^{2 x} - x e^{2 x} \ln (x^{2})}{x e^{4 x}}$

Passaggio 9.2

Riordina i termini.

$\frac{- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

Passaggio 9.3

Scomponi $e^{2 x}$ da $- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}$ .

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Passaggio 9.3.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $- e^{2 x} x \ln (x^{2})$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1}{e^{4 x} x}$

Passaggio 9.3.3

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2}) + 1)}{e^{4 x} x}$

Passaggio 9.4

Espandi $\ln (x^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$\frac{e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{e^{4 x} x}$

Passaggio 9.5

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ e $e^{4 x}$ .

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Passaggio 9.5.1

Scomponi $e^{4 x}$ da $e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)$ .

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

Passaggio 9.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.5.2.1

Scomponi $e^{4 x}$ da $e^{4 x} x$ .

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} (x)}$

Passaggio 9.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

Passaggio 9.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{x}$

Passaggio 9.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x \ln (x) + 1)}{x}$

Passaggio 9.7

Scomponi $- 1$ da $- 2 x \ln (x)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) + 1)}{x}$

Passaggio 9.8

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

Passaggio 9.9

Scomponi $- 1$ da $- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

Passaggio 9.10

Riscrivi $- (2 x \ln (x) - 1)$ come $- 1 (2 x \ln (x) - 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

Passaggio 9.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x \ln (x) - 1)}{x}$