Calcolo Esempi

$y = \log_{2} (e^{- x} \cos (π x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{2} (x)$ e $g (x) = e^{- x} \cos (π x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{- x} \cos (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{2} (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\log_{2} (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1} \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{- x} \cos (π x)$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = \cos (π x)$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $π x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $π x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 4.3

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]))$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Passaggio 6.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Passaggio 6.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- e^{- x}))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π)) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Passaggio 7.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.2.1

$e^{- x}$ e $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ .

$\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (- \sin (π x) π) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Passaggio 7.2.2

$\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ e $\sin (π x)$ .

$- \frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} π + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Passaggio 7.2.3

$π$ e $\frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ .

$- \frac{π (e^{- x} \sin (π x))}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Passaggio 7.2.4

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

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Passaggio 7.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{π e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Passaggio 7.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Passaggio 7.2.5

$\cos (π x)$ e $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ .

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} + \frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (- e^{- x})$

Passaggio 7.2.6

$\frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ e $e^{- x}$ .

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$

Passaggio 7.2.7

Elimina il fattore comune di $\cos (π x)$ .

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Passaggio 7.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$

Passaggio 7.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (2)}$

Passaggio 7.2.8

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

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Passaggio 7.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (2)}$

Passaggio 7.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}$

Passaggio 7.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1

Frazioni separate.

$- (\frac{π}{\ln (2)} \cdot \frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}) - \frac{1}{\ln (2)}$

Passaggio 7.3.2

Converti da $\frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}$ a $\tan (π x)$ .

$- (\frac{π}{\ln (2)} \tan (π x)) - \frac{1}{\ln (2)}$

Passaggio 7.3.3

$\frac{π}{\ln (2)}$ e $\tan (π x)$ .

$- \frac{π \tan (π x)}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}$