Calcolo Esempi

$y = x^{1 - x}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{1 - x}$ come $e^{\ln (x^{1 - x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{1 - x})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln (x^{1 - x})$ spostando $1 - x$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{(1 - x) \ln (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = (1 - x) \ln (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $(1 - x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(1 - x) \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 - x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

Passaggio 4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Passaggio 5.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 5.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 5.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 1)$

Passaggio 5.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - 1 \cdot \ln (x))$

Passaggio 5.6.3

Riscrivi $- 1 \ln (x)$ come $- \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Passaggio 6.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Passaggio 6.3.3

$\frac{1}{x}$ e $x$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

Passaggio 6.3.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

Passaggio 6.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 \cdot 1 - \ln (x))$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 - \ln (x))$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Passaggio 6.5

Semplifica.

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Passaggio 6.5.1

$e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Passaggio 6.5.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Passaggio 6.5.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 6.6

Riscrivi $- 1 e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ come $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 6.7

Per scrivere $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot \frac{x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 6.8

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ e $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 6.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 6.10

Scomponi $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ da $e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ .

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Passaggio 6.10.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 6.10.2

Scomponi $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ da $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 6.10.3

Scomponi $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ da $e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 6.11

Per scrivere $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 6.12

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ e $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Passaggio 6.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Passaggio 6.14

Scomponi $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ da $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ .

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Passaggio 6.14.1

Scomponi $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ da $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)}{x}$

Passaggio 6.14.2

Scomponi $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ da $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$

Passaggio 6.15

Riordina i fattori in $\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - x \ln (x))}{x}$