Calcolo Esempi

$y = \frac{1 + \csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + \csc (x)$ e $g (x) = 1 - \csc (x)$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)] - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \csc (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \csc (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [- \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) (- \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $1 + \csc (x)$ per $1$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 5

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + (1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.1

Moltiplica $- \csc (x) \cot (x)$ per $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica $- \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

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Passaggio 6.3.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Moltiplica $\csc (x)$ per $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.3

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.4

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.3

Moltiplica $- \csc (x) \cot (x)$ per $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.5

Moltiplica $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Passaggio 6.3.1.5.1

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.5.2

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Combina i termini opposti in $- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

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Passaggio 6.3.2.1

Sottrai $\csc^{2} (x) \cot (x)$ da $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) + 0}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.2

Somma $- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x)$ e $0$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.3

Sottrai $\csc (x) \cot (x)$ da $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 2 \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$