Calcolo Esempi

$y = \frac{e^{x}}{2 x + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{2 x e^{x} + e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $2 e^{x}$ da $e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Scomponi $e^{x}$ da $2 e^{x} x - e^{x}$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $e^{x}$ da $2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (2 x) - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$