Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x$ .

$\frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$\frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{2 x^{4} - (x^{2} - 1) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 6

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 6.2

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ .

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

Passaggio 7

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1)}{x^{4}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1}{x^{4}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} + 3}{x^{4}}$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $3 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3}{x^{4}}$

Passaggio 8.3

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 3}{x^{4}}$

Passaggio 8.4

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 3)}{x^{4}}$

Passaggio 8.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 8.6

Riscrivi $- (x^{2} - 3)$ come $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 8.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} - 3}{x^{4}}$