Calcolo Esempi

$y = {(1 - x^{- 1})}^{- 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 - x^{- 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{- 1}$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Passaggio 2.5

Moltiplica.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica ${(1 - x^{- 1})}^{- 2}$ per $1$ .

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riordina i fattori di ${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$ .

$- x^{- 2} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - \frac{1}{x})}^{- 2}$

Passaggio 3.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(1 - \frac{1}{x})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x - 1}{x})}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{x - 1}{x}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{x^{2}} (1 \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}})$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ per $1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 3.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$