Calcolo Esempi

$f (x) = x {(1 - 2 x)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{3}] + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 2 x$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.7

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \cdot 1$

Passaggio 3.9

Moltiplica ${(1 - 2 x)}^{3}$ per $1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Scomponi ${(1 - 2 x)}^{2}$ da $x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$ .

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Passaggio 4.1.1

Scomponi ${(1 - 2 x)}^{2}$ da $x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2})$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi ${(1 - 2 x)}^{2}$ da ${(1 - 2 x)}^{3}$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$

Passaggio 4.1.3

Scomponi ${(1 - 2 x)}^{2}$ da ${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6) + 1 - 2 x)$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (- 6 \cdot x + 1 - 2 x)$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $2 x$ da $- 6 x$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (- 8 x + 1)$

Passaggio 4.3

Riscrivi ${(1 - 2 x)}^{2}$ come $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ .

$(1 - 2 x) (1 - 2 x) (- 8 x + 1)$

Passaggio 4.4

Espandi $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

Passaggio 4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

Passaggio 4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Passaggio 4.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.5.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$(1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $- 2 x$ per $1$ .

$(1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Passaggio 4.5.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$(1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Passaggio 4.5.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) (- 8 x + 1)$

Passaggio 4.5.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.5.1.5.1

Sposta $x$ .

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) (- 8 x + 1)$

Passaggio 4.5.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) (- 8 x + 1)$

Passaggio 4.5.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$(1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

Passaggio 4.6

Espandi $(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$1 (- 8 x) + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 8 x$ per $1$ .

$- 8 x + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- 8 x + 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x \cdot x - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.7.4.1

Sposta $x$ .

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 (x \cdot x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7.5

Moltiplica $- 4$ per $- 8$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7.6

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.7.8.1

Sposta $x$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 4.7.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7.9

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.7.10

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

Passaggio 4.8

Sottrai $4 x$ da $- 8 x$ .

$- 12 x + 1 + 32 x^{2} - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

Passaggio 4.9

Somma $32 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$- 12 x + 1 - 32 x^{3} + 36 x^{2}$