Calcolo Esempi

$y = (2 x^{3} + 8) (3 x^{7} - 9)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 x^{3} + 8$ e $g (x) = 3 x^{7} - 9$ .

$(2 x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 9] + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{7} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$(2 x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{7}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$(2 x^{3} + 8) (3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$(2 x^{3} + 8) (3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 9]) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $7$ per $3$ .

$(2 x^{3} + 8) (21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(2 x^{3} + 8) (21 x^{6} + 0) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $21 x^{6}$ e $0$ .

$(2 x^{3} + 8) (21 x^{6}) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Passaggio 2.6.2

Sposta $21$ alla sinistra di $2 x^{3} + 8$ .

$21 \cdot (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 2.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 2.11

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (6 x^{2} + 0)$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.12.1

Somma $6 x^{2}$ e $0$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (6 x^{2})$

Passaggio 2.12.2

Sposta $6$ alla sinistra di $3 x^{7} - 9$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + 6 \cdot (3 x^{7} - 9) x^{2}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(21 (2 x^{3}) + 21 \cdot 8) x^{6} + 6 (3 x^{7} - 9) x^{2}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$21 (2 x^{3}) x^{6} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7} - 9) x^{2}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$21 (2 x^{3}) x^{6} + 21 \cdot 8 x^{6} + (6 (3 x^{7}) + 6 \cdot - 9) x^{2}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$21 (2 x^{3}) x^{6} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Passaggio 3.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $2$ per $21$ .

$42 x^{3} x^{6} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{6}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.2.1

Sposta $x^{6}$ .

$42 (x^{6} x^{3}) + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Passaggio 3.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$42 x^{6 + 3} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Passaggio 3.5.2.3

Somma $6$ e $3$ .

$42 x^{9} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $21$ per $8$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $3$ per $6$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 x^{7} x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $x^{7}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 (x^{2} x^{7}) + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Passaggio 3.5.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 x^{2 + 7} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Passaggio 3.5.5.3

Somma $2$ e $7$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 x^{9} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $6$ per $- 9$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 x^{9} - 54 x^{2}$

Passaggio 3.5.7

Somma $42 x^{9}$ e $18 x^{9}$ .

$60 x^{9} + 168 x^{6} - 54 x^{2}$