Calcolo Esempi

$\ln (\sin (5 x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (5 x)$ .

$\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Passaggio 2

Converti da $\frac{1}{\sin (5 x)}$ a $\csc (5 x)$ .

$\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x$ .

$\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$\csc (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5$

Passaggio 4.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $\csc (5 x) \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori di $5 \csc (5 x) \cos (5 x)$ .

$5 \cos (5 x) \csc (5 x)$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\csc (5 x)$ in termini di seno e coseno.

$5 \cos (5 x) \frac{1}{\sin (5 x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $5 \cos (5 x) \frac{1}{\sin (5 x)}$ .

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Passaggio 5.3.1

$\frac{1}{\sin (5 x)}$ e $5$ .

$\frac{5}{\sin (5 x)} \cos (5 x)$

Passaggio 5.3.2

$\frac{5}{\sin (5 x)}$ e $\cos (5 x)$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Passaggio 5.4

Frazioni separate.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Passaggio 5.5

Converti da $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ a $\cot (5 x)$ .

$\frac{5}{1} \cot (5 x)$

Passaggio 5.6

Dividi $5$ per $1$ .

$5 \cot (5 x)$