Calcolo Esempi

$f (x) = {(x + 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x + 8$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 8$ .

$\frac{2}{3} {(x + 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x + 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x + 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} {(x + 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} {(x + 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} {(x + 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} {(x + 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 6.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x + 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 6.3

Sposta ${(x + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x + 8)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{2}{3 {(x + 8)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(x + 8)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 9

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{3 {(x + 8)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(x + 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\frac{2}{3 {(x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ per $1$ .

$\frac{2}{3 {(x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$