Calcolo Esempi

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$

Passaggio 1

Scrivi

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ come un'equazione.

y = e^{2 x - 1}

$y = e^{2 x - 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

x = e^{2 y - 1}

$x = e^{2 y - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per

y

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$ .

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$

Passaggio 3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

ln (e^{2 y - 1}) = ln (x)

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

Passaggio 3.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi

ln (e^{2 y - 1})

$\ln (e^{2 y - 1})$ spostando

2 y - 1

$2 y - 1$ fuori dal logaritmo.

(2 y - 1) ln (e) = ln (x)

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Passaggio 3.3.2

Il logaritmo naturale di

e

$e$ è

1

$1$ .

(2 y - 1) \cdot 1 = ln (x)

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica

2 y - 1

$2 y - 1$ per

1

$1$ .

2 y - 1 = ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

2 y - 1 = ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

Passaggio 3.4

Somma

1

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$

Passaggio 3.5

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ .

\frac{2 y}{2} = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{2 y}{2} = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi

y

$y$ per

1

$1$ .

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci

y

$y$ con

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

f^{- 1} (x) = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Verifica se

f^{- 1} (x) = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ è l'inverso di

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ e

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola

f^{- 1} (e^{2 x - 1})

$f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ sostituendo il valore di

f

$f$ in

f^{- 1}

$f^{- 1}$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Usa le regole del logaritmo per togliere

2 x - 1

$2 x - 1$ dall'esponente.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) ln (e) + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Il logaritmo naturale di

e

$e$ è

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Moltiplica

2 x - 1

$2 x - 1$ per

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Combina i termini opposti in

2 x - 1 + 1

$2 x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Somma

- 1

$- 1$ e

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.2

Somma

2 x

$2 x$ e

0

$0$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Dividi

x

$x$ per

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2})

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ sostituendo il valore di

$f^{- 1}$ in

$f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Riscrivi

$\frac{\ln (x)}{2}$ come

$\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Semplifica

$\frac{1}{2} \ln (x)$ spostando

$\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica

$2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ spostando

$2$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Moltiplica gli esponenti in

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.5.1.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Semplifica.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in

$\ln (x) + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai

$1$ da

$1$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Passaggio 5.3.4.2

Somma

$\ln (x)$ e

$0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 5.3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché

$f^{- 1} (f (x)) = x$ e

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ è l'inverso di

$f (x) = e^{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

$f (x) = e^{2 x - 1}$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$