Calcolo Esempi

$f (x) = e^{2 x - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = e^{2 x - 1}$ come un'equazione.

$y = e^{2 x - 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = e^{2 y - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $e^{2 y - 1} = x$ .

$e^{2 y - 1} = x$

Passaggio 3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

Passaggio 3.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $\ln (e^{2 y - 1})$ spostando $2 y - 1$ fuori dal logaritmo.

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Passaggio 3.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2 y - 1$ per $1$ .

$2 y - 1 = \ln (x)$

Passaggio 3.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = \ln (x) + 1$

Passaggio 3.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (x) + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (x) + 1$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ è l'inverso di $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $2 x - 1$ dall'esponente.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Moltiplica $2 x - 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Combina i termini opposti in $2 x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (x)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Semplifica.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $\ln (x) + 1 - 1$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $\ln (x)$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 5.3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ è l'inverso di $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$