Calcolo Esempi

$x^{2} y^{3} - 2 x y = 6 x + y + 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3} - 2 x y) = \frac{d}{d x} (6 x + y + 1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{3} - 2 x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x y$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y') - 2 y$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + y + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 + y' + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 + y' + 0$

Passaggio 3.5

Somma $6 + y'$ e $0$ .

$6 + y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y = 6 + y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y - y' = 6$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $2 y^{3} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - 2 y - y' = 6 - 2 y^{3} x$

Passaggio 5.2.2

Somma $2 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) - 2 x y' - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $- 2 x y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x) - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x) + y' \cdot - 1 = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $y'$ da $y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x) + y' \cdot - 1 = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Passaggio 5.3.5

Scomponi $y'$ da $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Passaggio 5.4

Dividi per $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ ciascun termine in $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ ciascun termine in $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$ .

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} - \frac{2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{6 - 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{6 - 2 y^{3} x + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.4

Scomponi $2$ da $6 - 2 y^{3} x + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$y' = \frac{2 \cdot 3 - 2 y^{3} x + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.4.2

Scomponi $2$ da $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{2 \cdot 3 + 2 (- y^{3} x) + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.4.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 3 + 2 (- y^{3} x)$ .

$y' = \frac{2 \cdot (3 - y^{3} x) + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.4.4

Scomponi $2$ da $2 \cdot (3 - y^{3} x) + 2 y$ .

$y' = \frac{2 (3 - y^{3} x + y)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 - y^{3} x + y)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$