Calcolo Esempi

$x^{2} y + 2 x^{3} y = x + y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + 2 x^{3} y) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y + 2 x^{3} y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Passaggio 2.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3} y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Passaggio 2.3.5

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + 3 y x^{2})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y') + 2 (3 y x^{2})$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 x^{3} y' + 6 y x^{2}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 + y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y = 1 + y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 1$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 1 - 2 x y$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $6 x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' + 2 x^{3} y' - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $x^{2} y' + 2 x^{3} y' - y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 2 x^{3} y' - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $2 x^{3} y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x^{3}) - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x^{3}) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $y'$ da $y' (x^{2}) + y' (2 x^{3})$ .

$y' (x^{2} + 2 x^{3}) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Passaggio 5.3.5

Scomponi $y'$ da $y' (x^{2} + 2 x^{3}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x^{2} + 2 x^{3} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Passaggio 5.4

Riordina i termini.

$y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Passaggio 5.5

Dividi per $2 x^{3} + x^{2} - 1$ ciascun termine in $y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $2 x^{3} + x^{2} - 1$ ciascun termine in $y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$ .

$\frac{y' (2 x^{3} + x^{2} - 1)}{2 x^{3} + x^{2} - 1} = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2 x^{3} + x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 x^{3} + x^{2} - 1)}{2 x^{3} + x^{2} - 1} = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Passaggio 5.5.3.2

Riduci in una frazione.

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Passaggio 5.5.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{1 - 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{1 - 2 x y - 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x y - 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$