Calcolo Esempi

$\sin (y) = 5 x^{4} - 5$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - 5)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\cos (y) y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $20 x^{3}$ e $0$ .

$20 x^{3}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$

Passaggio 5

Dividi per $\cos (y)$ ciascun termine in $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $\cos (y)$ ciascun termine in $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ .

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $\cos (y)$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$