Calcolo Esempi

$\cos (y^{2}) + x = e^{y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (y^{2}) + x) = \frac{d}{d x} (e^{y})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (y^{2}) + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y^{2}$ .

$- \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$- \sin (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \sin (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$- \sin (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \sin (y^{2}) (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (y^{2}) (y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (y^{2}) (y y') + 1$

Passaggio 2.3.2

Riordina i termini.

$- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{y} y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1 = e^{y} y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1$ .

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 = e^{y} y'$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori in $e^{y} y'$ .

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 = y' e^{y}$

Passaggio 5.3

Sottrai $y' e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 - y' e^{y} = 0$

Passaggio 5.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) - y' e^{y} = - 1$

Passaggio 5.5

Scomponi $y'$ da $- 2 y y' \sin (y^{2}) - y' e^{y}$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $y'$ da $- 2 y y' \sin (y^{2})$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2})) - y' e^{y} = - 1$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $y'$ da $- y' e^{y}$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2})) + y' (- 1 e^{y}) = - 1$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $y'$ da $y' (- 2 y \sin (y^{2})) + y' (- 1 e^{y})$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2}) - 1 e^{y}) = - 1$

Passaggio 5.6

Riscrivi $- 1 e^{y}$ come $- e^{y}$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$

Passaggio 5.7

Dividi per $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ ciascun termine in $y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.7.1

Dividi per $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ ciascun termine in $y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$ .

$\frac{y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y})}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}} = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Passaggio 5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.7.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ .

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Passaggio 5.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y})}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}} = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Passaggio 5.7.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Passaggio 5.7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Passaggio 5.7.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 y \sin (y^{2})$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2})) - e^{y}}$

Passaggio 5.7.3.3

Scomponi $- 1$ da $- e^{y}$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2})) - (e^{y})}$

Passaggio 5.7.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 y \sin (y^{2})) - (e^{y})$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})}$

Passaggio 5.7.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.7.3.5.1

Riscrivi $- (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})$ come $- 1 (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})$ .

$y' = - \frac{1}{- 1 (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})}$

Passaggio 5.7.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - - \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Passaggio 5.7.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y' = 1 \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Passaggio 5.7.3.5.4

Moltiplica $\frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$