Calcolo Esempi

$\cos (x y) + x^{3} = y^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y) + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x y) + x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \sin (x y) (x y' + y) + 3 x^{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y + 3 x^{2}$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$3 x^{2} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 3 y^{2} y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $3 x^{2} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$3 x^{2} - x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 3 y^{2} y'$

Passaggio 5.2

Sottrai $3 y^{2} y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - 3 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.3.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.2

Somma $y \sin (x y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' \sin (x y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $- x y' \sin (x y) - 3 y^{2} y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 3 y^{2}) = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$

Passaggio 5.5

Dividi per $- x \sin (x y) - 3 y^{2}$ ciascun termine in $y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $- x \sin (x y) - 3 y^{2}$ ciascun termine in $y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2})}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- x \sin (x y) - 3 y^{2}$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2})}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.4

Scomponi $- 1$ da $y \sin (x y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (- y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (- y \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6

Riscrivi $- (3 x^{2} - y \sin (x y))$ come $- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.7

Scomponi $- 1$ da $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y)) - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.5.3.8

Scomponi $- 1$ da $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y)) - (3 y^{2})}$

Passaggio 5.5.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (x \sin (x y)) - (3 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y) + 3 y^{2})}$

Passaggio 5.5.3.10

Riscrivi $- (x \sin (x y) + 3 y^{2})$ come $- 1 (x \sin (x y) + 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- 1 (x \sin (x y) + 3 y^{2})}$

Passaggio 5.5.3.11

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- 1 (x \sin (x y) + 3 y^{2})}$

Passaggio 5.5.3.12

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 x^{2} - y \sin (x y)}{x \sin (x y) + 3 y^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y \sin (x y)}{x \sin (x y) + 3 y^{2}}$