Calcolo Esempi

$3 x + y^{3} - \frac{4 y}{x + 2} = 10 x^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (3 x + y^{3} - \frac{4 y}{x + 2}) = \frac{d}{d x} (10 x^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + y^{3} - \frac{4 y}{x + 2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4 y}{x + 2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{y}{x + 2}]$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{d}{d x} [\frac{y}{x + 2}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = y$ e $g (x) = x + 2$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4.7

Somma $1$ e $0$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4.9

$- 4$ e $\frac{(x + 2) y' - y}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$3 + 3 y^{2} y' + \frac{- 4 ((x + 2) y' - y)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 ((x + 2) y' - y)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 (x y' + 2 y' - y)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 (x y') + 4 (2 y') + 4 (- y)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 x y' + 8 y' + 4 (- y)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 x y' + 8 y' - 4 y}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.3

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{4 x y' + 8 y' - 4 y}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 y^{2} y' + \frac{3 {(x + 2)}^{2} - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x^{2}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$10 (2 x)$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $10$ .

$20 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 y^{2} y' + \frac{3 {(x + 2)}^{2} - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 ((x + 2) (x + 2)) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.2

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.3.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + 4 x + 4) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4 - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4 - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.5.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - (4 x y') - (8 y') - (- 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x y') - (8 y') - (- 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.7.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x y') - 8 y' - (- 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.7.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x y') - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.1.8

Rimuovi le parentesi.

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, {(x + 2)}^{2}, 1$

Passaggio 5.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

${(x + 2)}^{2}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per ${(x + 2)}^{2}$ ciascun termine in $3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$ per ${(x + 2)}^{2}$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 20 x {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 20 x {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $20 x {(x + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Riscrivi.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 0 + 0 + 20 x {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 5.4.1.2

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x ((x + 2) (x + 2))$

Passaggio 5.4.1.3

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Passaggio 5.4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Passaggio 5.4.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Passaggio 5.4.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Passaggio 5.4.1.4.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Passaggio 5.4.1.4.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Passaggio 5.4.1.4.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + 4 x + 4)$

Passaggio 5.4.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x \cdot x^{2} + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

Passaggio 5.4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.6.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.6.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 (x^{2} x) + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

Passaggio 5.4.1.6.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.6.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 (x^{2} x^{1}) + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

Passaggio 5.4.1.6.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{2 + 1} + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

Passaggio 5.4.1.6.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

Passaggio 5.4.1.6.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 x \cdot x + 20 x \cdot 4$

Passaggio 5.4.1.6.3

Moltiplica $4$ per $20$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 x \cdot x + 80 x$

Passaggio 5.4.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.7.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.7.1.1

Sposta $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 (x \cdot x) + 80 x$

Passaggio 5.4.1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 x^{2} + 80 x$

Passaggio 5.4.1.7.2

Moltiplica $20$ per $4$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x$

Passaggio 5.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2}$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $12 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2} - 12 x$

Passaggio 5.4.2.3

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2} - 12 x - 12$

Passaggio 5.4.2.4

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2} - 12 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.2.5

Sottrai $3 x^{2}$ da $80 x^{2}$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 80 x - 12 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.2.6

Sottrai $12 x$ da $80 x$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2}$ .

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $y'$ da $- 4 x y'$ .

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) + y' (- 4 x) - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.3.3

Scomponi $y'$ da $- 8 y'$ .

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) + y' (- 4 x) + y' \cdot - 8 = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.3.4

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) + y' (- 4 x)$ .

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2} - 4 x) + y' \cdot - 8 = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.3.5

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2} - 4 x) + y' \cdot - 8$ .

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.4

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$y' (3 y^{2} ((x + 2) (x + 2)) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.5

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' (3 y^{2} (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' (3 y^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$y' (3 y^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' (3 y^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.6.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y' (3 y^{2} (x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.6.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y' (3 y^{2} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.6.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$y' (3 y^{2} (x^{2} + 4 x + 4) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.7

Applica la proprietà distributiva.

$y' (3 y^{2} x^{2} + 3 y^{2} (4 x) + 3 y^{2} \cdot 4 - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.8.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' (3 y^{2} x^{2} + 3 \cdot (4 y^{2} x) + 3 y^{2} \cdot 4 - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.8.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 3 \cdot (4 y^{2} x) + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.9

Moltiplica $3$ per $4$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

Passaggio 5.4.10

Dividi per $3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.1

Dividi per $3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$ .

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.2.1

Elimina il fattore comune di $3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.4.10.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.1.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.1.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $20 x^{3} + 77 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.1.2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $20 x^{3}$ .

$y' = \frac{x^{2} (20 x) + 77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.1.2.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $77 x^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2} (20 x) + x^{2} \cdot 77}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.1.2.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (20 x) + x^{2} \cdot 77$ .

$y' = \frac{x^{2} (20 x + 77)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{x^{2} (20 x + 77) + 68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (20 x + 77) + 68 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (20 x + 77)$ .

$y' = \frac{x (x (20 x + 77)) + 68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.2.1.2

Scomponi $x$ da $68 x$ .

$y' = \frac{x (x (20 x + 77)) + x \cdot 68}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.2.1.3

Scomponi $x$ da $x (x (20 x + 77)) + x \cdot 68$ .

$y' = \frac{x (x (20 x + 77) + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{x (x (20 x) + x \cdot 77 + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.2.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{x (20 x \cdot x + x \cdot 77 + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.2.4

Sposta $77$ alla sinistra di $x$ .

$y' = \frac{x (20 x \cdot x + 77 \cdot x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.2.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.2.5.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{x (20 (x \cdot x) + 77 \cdot x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{x (20 x^{2} + 77 \cdot x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

$y' = \frac{x (20 x^{2} + 77 x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{x (20 x^{2} + 77 x + 68) - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{x (20 x^{2}) + x (77 x) + x \cdot 68 - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{20 x \cdot x^{2} + x (77 x) + x \cdot 68 - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{20 x \cdot x^{2} + 77 x \cdot x + x \cdot 68 - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.2.3

Sposta $68$ alla sinistra di $x$ .

$y' = \frac{20 x \cdot x^{2} + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.3.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$y' = \frac{20 (x^{2} x) + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{20 (x^{2} x^{1}) + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{20 x^{2 + 1} + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.3.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.3.2.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 (x \cdot x) + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.4

Riscrivi $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1

Scomponi $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.05, \pm 0.5, \pm 0.1, \pm 0.25, \pm 0.2, \pm 12, \pm 0.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 3, \pm 2.4, \pm 2, \pm 0.4, \pm 0.3, \pm 1.5, \pm 0.15, \pm 0.75, \pm 4, \pm 0.8$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

$20 {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 68 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$20 \cdot - 8 + 77 {(- 2)}^{2} + 68 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.3.3

Moltiplica $20$ per $- 8$ .

$- 160 + 77 {(- 2)}^{2} + 68 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.3.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 160 + 77 \cdot 4 + 68 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.3.5

Moltiplica $77$ per $4$ .

$- 160 + 308 + 68 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.3.6

Somma $- 160$ e $308$ .

$148 + 68 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.3.7

Moltiplica $68$ per $- 2$ .

$148 - 136 - 12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.3.8

Sottrai $136$ da $148$ .

$12 - 12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.3.9

Sottrai $12$ da $12$ .

$0$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12}{x + 2}$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5

Dividi $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$20 x^{3}$

$77 x^{2}$

$68 x$

$12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $20 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$20 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			+	$20 x^{3}$	+	$40 x^{2}$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $20 x^{3} + 40 x^{2}$

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $37 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					+	$37 x^{2}$	+	$74 x$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $37 x^{2} + 74 x$

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x - 12$

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$20 x^{2} + 37 x - 6$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.1.6

Scrivi $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ come insieme di fattori.

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} + 37 x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.4.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 20 \cdot - 6 = - 120$ e la cui somma è $b = 37$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.4.2.1.1

Scomponi $37$ da $37 x$ .

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} + 37 (x) - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.2.1.2

Riscrivi $37$ come $- 3$ più $40$ .

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} + (- 3 + 40) x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} - 3 x + 40 x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.4.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y' = \frac{(x + 2) ((20 x^{2} - 3 x) + 40 x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y' = \frac{(x + 2) (x (20 x - 3) + 2 (20 x - 3))}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.4.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $20 x - 3$ .

$y' = \frac{(x + 2) ((20 x - 3) (x + 2))}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

$y' = \frac{(x + 2) (20 x - 3) (x + 2)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.4.5.1

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{{(x + 2)}^{1} (x + 2) (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.5.2

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{{(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{{(x + 2)}^{1 + 1} (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.4.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$y' = \frac{{(x + 2)}^{2} (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{{(x + 2)}^{2} (20 x - 3) - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{{(x + 2)}^{2} (20 x) + {(x + 2)}^{2} \cdot - 3 - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.6.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{20 {(x + 2)}^{2} x + {(x + 2)}^{2} \cdot - 3 - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.6.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di ${(x + 2)}^{2}$ .

$y' = \frac{20 {(x + 2)}^{2} x - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.4.10.3.7

Riordina i fattori in $\frac{20 {(x + 2)}^{2} x - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$ .

$y' = \frac{20 x {(x + 2)}^{2} - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x {(x + 2)}^{2} - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$