Calcolo Esempi

$u = v^{2} \sqrt{8 v - 3}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{8 u' - 3}$ come ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = {u'}^{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $u$ rispetto a $u'$ è $u'$ .

$u'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ è $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ dove $f (u') = {u'}^{2}$ e $g (u') = {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ è $f' (g (u')) g' (u')$ dove $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ e $g (u') = 8 u' - 3$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 u' - 3$ .

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 u' - 3$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} (\frac{{(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.7.3

Sposta ${(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.7.4

$\frac{1}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${u'}^{2}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3] + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 u' - 3$ rispetto a $u'$ è $\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 3]$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.9

Poiché $8$ è costante rispetto a $u'$ , la derivata di $8 u'$ rispetto a $u'$ è $8 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ è $n {u'}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.11

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.12

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $u'$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $u'$ è $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.13

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.13.1

Somma $8$ e $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.13.2

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $8$ .

$\frac{{u'}^{2} \cdot 8}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.13.3

Sposta $8$ alla sinistra di ${u'}^{2}$ .

$\frac{8 \cdot {u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.13.4

Scomponi $2$ da $8 {u'}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.14

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.14.1

Scomponi $2$ da $2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ è $n {u'}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

Passaggio 4.16

Sposta $2$ alla sinistra di ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} u'$

Passaggio 4.17

Combina $\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} u'$ utilizzando un comune denominatore.

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Passaggio 4.17.1

Sposta ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.17.2

Per scrivere $2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18

Moltiplica ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.18.1

Sposta ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' ({(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{1}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19

Semplifica $2 u' {(8 u' - 3)}^{1}$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20

Semplifica.

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Passaggio 4.20.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.20.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.20.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 u' u' + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.2.1.2

Moltiplica $u'$ per $u'$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.20.2.1.2.1

Sposta $u'$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 (u' u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.2.1.2.2

Moltiplica $u'$ per $u'$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.2.1.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.2.2

Somma $4 {u'}^{2}$ e $16 {u'}^{2}$ .

$\frac{20 {u'}^{2} - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.3

Scomponi $2 u'$ da $20 {u'}^{2} - 6 u'$ .

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Passaggio 4.20.3.1

Scomponi $2 u'$ da $20 {u'}^{2}$ .

$\frac{2 u' (10 u') - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.3.2

Scomponi $2 u'$ da $- 6 u'$ .

$\frac{2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.3.3

Scomponi $2 u'$ da $2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 3$ .

$\frac{2 u' (10 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$u' = \frac{2 u' (10 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

Nessuna soluzione

Passaggio 7

Sostituisci $u'$ con $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v}$