Calcolo Esempi

$y = 5 x^{2} e^{3 x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} e^{3 x})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2} e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$5 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.4

Differenzia.

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Passaggio 3.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.4.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$5 (x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x))$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

Passaggio 3.5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 (x^{2} (e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 e^{3 x} x$

Passaggio 3.5.3

Riordina i termini.

$15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$

Passaggio 3.5.4

Riordina i fattori in $15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$ .

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$