Calcolo Esempi

$4 x y + \ln (x^{2} y) = 7$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (4 x y + \ln (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (7)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x y + \ln (x^{2} y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x y$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 2.3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y (2 x))$

Passaggio 2.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y') + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2}}{x^{2} y} y' + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Passaggio 2.4.3.2

$\frac{x^{2}}{x^{2} y}$ e $y'$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Passaggio 2.4.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Passaggio 2.4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Passaggio 2.4.3.4

$2$ e $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x^{2} y} (y x)$

Passaggio 2.4.3.5

$y$ e $\frac{2}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2}{x^{2} y} x$

Passaggio 2.4.3.6

$\frac{y \cdot 2}{x^{2} y}$ e $x$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

Passaggio 2.4.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 \cdot y x}{x^{2} y}$

Passaggio 2.4.3.8

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 y x}{x^{2} y}$

Passaggio 2.4.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 x}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.3.9

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.9.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.9.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Passaggio 2.4.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Passaggio 2.4.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x}$

Passaggio 3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, 1, y, x, 1$

Passaggio 5.1.2

Poiché $1, 1, y, x, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1, 1, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}, x^{1}$ .

Passaggio 5.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.1.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 5.1.6

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 5.1.7

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 5.1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}, x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y x$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $y x$ ciascun termine in $4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ per $y x$ .

$4 x y' (y x) + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$4 (x \cdot x) y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Sposta $y$ .

$4 x^{2} y' y + 4 (y \cdot y) x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.4.1

Scomponi $x$ da $y x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $0 (y x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Moltiplica $y$ per $0$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 x$

Passaggio 5.2.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Sottrai $4 y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} y' y + y' x + 2 y = - 4 y^{2} x$

Passaggio 5.3.1.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} y' y + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x y'$ da $4 x^{2} y' y + y' x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $x y'$ da $4 x^{2} y' y$ .

$x y' (4 x y) + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $x y'$ da $y' x$ .

$x y' (4 x y) + x y' \cdot 1 = - 4 y^{2} x - 2 y$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' (4 x y) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $x (4 x y + 1)$ ciascun termine in $x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $x (4 x y + 1)$ ciascun termine in $x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ .

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4 x y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Per scrivere $- \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(4 x y + 1) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{(4 x y + 1) x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(4 x y + 1) x$ .

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5

Scomponi $2 y$ da $- 4 y^{2} x - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.5.1

Scomponi $2 y$ da $- 4 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.2

Scomponi $2 y$ da $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.3

Scomponi $2 y$ da $2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x - 1)}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 y x$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1)}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.7

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1 (1))}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (2 y x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.9.1

Riscrivi $- (2 y x + 1)$ come $- 1 (2 y x + 1)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.9.3

Riordina i fattori in $- \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$ .

$y' = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$