Calcolo Esempi

$x \cos (y) = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Passaggio 2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $\cos (y)$ per $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $\cos (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

Passaggio 5.3

Dividi per $- x \sin (y)$ ciascun termine in $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- x \sin (y)$ ciascun termine in $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ .

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $\sin (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

Passaggio 5.3.3.2

Frazioni separate.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Passaggio 5.3.3.3

Converti da $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ a $\cot (y)$ .

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

Passaggio 5.3.3.4

$\frac{1}{x}$ e $\cot (y)$ .

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$