Calcolo Esempi

${(3 x y + 7)}^{2} = 6 y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(3 x y + 7)}^{2}) = \frac{d}{d x} (6 y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(3 x y + 7)}^{2}$ come $(3 x y + 7) (3 x y + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x y + 7) (3 x y + 7)]$

Passaggio 2.2

Espandi $(3 x y + 7) (3 x y + 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y + 7) + 7 (3 x y + 7)]$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y + 7)]$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x) y (3 y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y (3 y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} (y \cdot y) \cdot 3 + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} \cdot 3 + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $7$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $3$ per $7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 21 (x y) + 7 \cdot 7]$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $7$ per $7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 21 x y + 49]$

Passaggio 2.3.2

Somma $21 x y$ e $21 x y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 42 x y + 49]$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} y^{2} + 42 x y + 49$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.4.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$9 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$9 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.8

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.9

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.9.3

Poiché $42$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $42 x y$ rispetto a $x$ è $42 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.11

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.13

Moltiplica $y$ per $1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 2.14

Poiché $49$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $49$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y) + 0$

Passaggio 2.15

Somma $9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$ e $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$

Passaggio 2.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$

Passaggio 2.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y') + 42 y$

Passaggio 2.16.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.3.1

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18 (x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y') + 42 y$

Passaggio 2.16.3.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 y$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y = 6 y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $6 y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y - 6 y' = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $18 y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$18 x^{2} y y' + 42 x y' + 42 y - 6 y' = - 18 y^{2} x$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $42 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$18 x^{2} y y' + 42 x y' - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

Passaggio 5.3

Scomponi $6 y'$ da $18 x^{2} y y' + 42 x y' - 6 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $6 y'$ da $18 x^{2} y y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 42 x y' - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $6 y'$ da $42 x y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x) - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $6 y'$ da $- 6 y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x) + 6 y' \cdot - 1 = - 18 y^{2} x - 42 y$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $6 y'$ da $6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x)$ .

$6 y' (3 x^{2} y + 7 x) + 6 y' \cdot - 1 = - 18 y^{2} x - 42 y$

Passaggio 5.3.5

Scomponi $6 y'$ da $6 y' (3 x^{2} y + 7 x) + 6 y' \cdot - 1$ .

$6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$

Passaggio 5.4

Dividi per $6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)$ ciascun termine in $6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)$ ciascun termine in $6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$ .

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{3 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $3 x^{2} y + 7 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{3 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Scomponi $6$ da $- 18 y^{2} x$ .

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 42$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.1

Scomponi $6$ da $- 42 y$ .

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{6 (- 7 y)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{6 (- 7 y)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} - \frac{7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x - 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Scomponi $y$ da $- 3 y^{2} x - 7 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.2.1

Scomponi $y$ da $- 3 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x) - 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.2.2.2

Scomponi $y$ da $- 7 y$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x) + y \cdot - 7}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.2.2.3

Scomponi $y$ da $y (- 3 y x) + y \cdot - 7$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x - 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 y x$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.2.4

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 1 (7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 y x) - 1 (7)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x + 7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.6.1

Riscrivi $- (3 y x + 7)$ come $- 1 (3 y x + 7)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (3 y x + 7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Passaggio 5.4.3.2.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y (3 y x + 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (3 y x + 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$