Calcolo Esempi

$y = \frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 - \sec (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [1 - \sec (x)] - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sec (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [- \sec (x)] - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sec (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- (\sec (x) \tan (x))) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.4

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.5

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.8

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (1 - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9

Semplifica.

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Passaggio 3.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \cdot 1 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.9.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.9.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.1.2

Riscrivi $- 1 \sec^{2} (x)$ come $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.1.3

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1.3.1

Sposta $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.1.3.2

Moltiplica $\sec^{2} (x)$ per $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1.3.2.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - {\sec (x)}^{2 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.1.4

Moltiplica $- - \sec^{3} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.1.4.2

Moltiplica $\sec^{3} (x)$ per $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.2

Scomponi $\sec (x)$ da $- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)$ .

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Passaggio 3.9.3.2.1

Scomponi $\sec (x)$ da $- \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) - \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.2.2

Scomponi $\sec (x)$ da $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec (x)) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.2.3

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.2.4

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.2.5

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) (- \tan^{2} (x) - \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - \sec (x) + \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.3

Sposta $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.4

Riordina $- \tan^{2} (x)$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.7

Moltiplica $\sec (x)$ per $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\sec (x) - \sec (x) \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.9

Moltiplica $- \sec (x) \sec (x)$ .

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Passaggio 3.9.3.9.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.9.2

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.9.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.3.9.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.4

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) - \sec^{2} (x)$ .

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Passaggio 3.9.4.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 - \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.4.2

Scomponi $\sec (x)$ da $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.4.3

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.9.5

Scomponi $\tan (x)$ da $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{\tan (x) \tan (x)}$

Passaggio 3.9.6

Frazioni separate.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

Passaggio 3.9.7

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.9.8

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.9.9

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 3.9.10

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.9.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 3.9.10.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 3.9.11

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \csc (x)$

Passaggio 3.9.12

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)}$ e $\csc (x)$ .

$\frac{(1 - \sec (x)) \csc (x)}{\tan (x)}$

Passaggio 3.9.13

Frazioni separate.

$\frac{1 - \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\tan (x)}$

Passaggio 3.9.14

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1 - \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.9.15

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1 - \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.9.16

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 3.9.17

Semplifica.

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Passaggio 3.9.17.1

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{1} (\csc (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 3.9.17.2

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{1} (\csc (x) \cot (x))$

Passaggio 3.9.18

Dividi $1 - \sec (x)$ per $1$ .

$(1 - \sec (x)) (\csc (x) \cot (x))$

Passaggio 3.9.19

Applica la proprietà distributiva.

$1 (\csc (x) \cot (x)) - \sec (x) (\csc (x) \cot (x))$

Passaggio 3.9.20

Moltiplica $\csc (x) \cot (x)$ per $1$ .

$\csc (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \csc (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) \cot (x)$