Calcolo Esempi

$y = \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 - \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- - \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4

Moltiplica.

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sin (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.6

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.9

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.10

Semplifica.

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Passaggio 3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.10.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.10.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.10.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.10.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cos (x)$ come $- \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.10.3.1.3

Moltiplica $- - \cos (x)$ .

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Passaggio 3.10.3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.10.3.1.3.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.10.3.1.4

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 3.10.3.1.4.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.10.3.1.4.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.10.3.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.10.3.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.10.3.2

Sposta $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.10.3.3

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$